ルートの無限入れ子クイズ

数列 $a_n$ が
$a_1=\sqrt2$ , $a_2=\sqrt{2{\sqrt 2}}$ , $a_3=\sqrt{2{\sqrt{2{\sqrt 2}}}}$ , $\cdots$ , $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$
で与えられているとき、 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ を求めよ。

http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070613102030より一部改変

高校生であるミルカさんが『この数式の値が《ある正の値に収束する》ことは仮定』したならば一瞬でとけると言っていた方法を考えてみる。

$A=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ とおく
$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n+1}$ より
$A=\sqrt{2A}$
$A=2,0$
ところが、 $A=0$ は不適より、 $A=2$

さて、これがミルカさんの考えと同じかどうか気になるところ。『この数式の値が《ある正の値に収束する》』かどうかがわからない時はなかなか解答が長くなりそうだがどうしよう。