わからない中学数学 - potio Arabicam amo

＜問題＞ n個のコインを同時に投げるとき、少なくとも1個表がでるが、全部ではない事象をBとする。確率P(B)を求めなさい。＜質問＞余事象を「すべて裏またはすべて表」として、P(B-)=1/2^n+1/2^nとできると考えるのですが、手元の解答例では、P(B-)=(1/2^n-1)*1/2+1/2*(1/2^n-1)となっています。自分の考えが合っているのか、合っていないのかわかりません。教えてください。P(B-)はバーをがんばって表したものです。
質問者の回答で十分すぎるくらいで、中高生みんながこの人のように式に説明付けて回答できれば採点とか楽になるだろうなぁと。
でもここで問われている質問はかなり難しく、かなりムキになって答えてみたはいいがやっぱり腑に落ちない。
質問文をちょっと書き換えてみると
$n$ 個のコインを同時に投げるとき、少なくとも1個表がでるが、全部ではない事象を $B$ とする。確率 $P(B)$ を求めなさい。
この時、 $P(\bar{B})={(\frac{1}{2})}^{(n-1)} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{(n-1)}$ と解説する意図は？
とりあえずコインが表になる確率が $\frac{1}{2}$ なのがちょっと新鮮。裏の確率も表の確率も式の上では同じになって困るのでコインが表になる確率を $p$ としてみる。すると件の $P(\bar{B})$ をどう書き換えるかが問題となるわけだ。
元の $(\bar{B})$ には $\frac{1}{2}$ が四回出てくるが答えとして正しいものは

1. $P(\bar{B}) = p^{(n-1)} \times p + (1-p) \times {(1-p)}^{(n-1)}$
2. $P(\bar{B}) = {(1-p)}^{(n-1)} \times (1-p) + p \times p^{(n-1)}$

のどちらかのみ。両式前半を見て漸化式を意識した回答じゃないかと思ってみたが、そうだとすると式後半の $n-1$ 乗された数の位置に説明がつかない。
だってそうでしょう？　表では $f(n) = f(n-1) \times p$ と考えておきながら $g(n) = (1-p) \times g(n-1)$ なんてする意味がない。
漸化式を意識した普通の感覚ならば $P(\bar{B}) = p^{(n-1)} \times p + {(1-p)}^{(n-1)} \times (1-p)$ と表記するはずだ。よって漸化式説は自分で回答しておきながら却下。

何度見返しても解答製作者の意図がわからない。