和と積と３の倍数（解答有り注意）

どうも自分が忙しい時期に限っておもしろい問題を出すブログがある。今回の問題はこちら。

２つの自然数の組について、その和は３の倍数であり、かつ積が３の倍数でないならば、この積の約数の和は３の倍数であることを示せ。

http://beam2d.blog74.fc2.com/blog-entry-394.html

今回はなんとか解けたようだ。

以下法は $3$ で固定。
和が $3$ の倍数となる $2$ つの自然数の組はそれぞれ $+1,-1$ に合同な組又はともに $0$ と合同な組しかない。 $2$ 数ともに $0$ と合同な組の積は $3$ の倍数となるため不適。よって考える $2$ 数を $n,m(n\equiv 1, m\equiv -1)$ と置く。
積 $nm$ の約数 $k$ をとると $\frac{nm}{k}$ も $nm$ の約数であり、 $nm\equiv -1$ より $k+\frac{nm}{k}\equiv 0$ （ $k\equiv 1$ なら $\frac{nm}{k} \equiv -1$ 、逆またしかり。）。よって、 $nm$ の約数の総和は $0$ と合同、すなわち $3$ の倍数であると示された。